Seine musikalische Ausbildung begann der gebürtige Wiesbadener in seinem ersten Schuljahr am Klavier, später überleitend zur Trompete. Mit siebzehn Jahren erhielt er seinen ersten Gesangsunterricht bei Frau Gertie Charlent am Peter-Cornelius-Konservatorium in Mainz.
Nach Beendigung seiner Schulzeit begann er sein Gesangshauptstudium bei Prof. Martin Gründler an der Hochschule für Musik und Darstellende Kunst in Frankfurt/Main.
Alexander Spemann gastierte u. a. in Essen, der Oper Frankfurt/Main, in der Philharmonie Köln, bei Rundfunkaufnahmen des Hessischen sowie des Westdeutschen Rundfunks, in der Münchner Philharmonie am Gasteig, am Niedersächsischen Staatstheater Hannover, der Staatsoper Hamburg, sowie an der Oper der Stadt Bonn, an der er von 1993/94 bis Ende der Spielzeit 1996/97 fest engagiert war.
Seit September 1999 ist er als Jugendlicher Heldentenor/ Heldentenor am Staatstheater Mainz beschäftigt. Mit Partien wie Max aus Webers Freischütz, dem Herodes aus Strauss' Salome oder Wagners Tristan, Tannhäuser, Parzifal oder Lohengrin, die neben Danilo aus Lehárs Lustiger Witwe, Prof. Henry Higgins aus My Fair Lady oder dem Zigeunerbaron zu seinem Repertoire gehören, stellt Alexander Spemann, der auch als Komponist und immer wieder als musikalisch-literarischer Kabarettist zu erleben ist, seine Vielfältigkeit unter Beweis.
In den Spielzeiten 2014/15 und 2015/16 war unter anderem als Walther von Stolzing (Die Meistersinger von Nürnberg, Wagner), Einsiedel (Simplicius Simplicissimus, Hartmann) sowie Der Zwerg (Der Zwerg, Zemlinsky) oder als Hexe von Endor in Saul zu erleben.
Auch stand er 2019/20 in Boris Godunow und in Der Ring an einem Abend auf der Bühne.
In der Spielzeit 2020/2021 konnte man ihn als Gabriel von Eisenstein in Die Fledermaus auf der Bühne erleben.
In der aktuellen Spielzeit ist er unter anderem in Der Rosenkavalier und Hänsel und Gretel zu sehen.